O PIĘCIU WAŻNYCH OBSZARACH BADAŃ MATEMATYCZNYCH

O pięciu ważnych obszarach badań prowadzonych na Wydziale Matematyki i Informatyki opowiadają szefowie katedr i Seminarium Informatycznego


Prof. Andrzej Skowroński
Fot. Maciej Koziński

Prof. Andrzej Skowroński

KATEDRA ALGEBRY I GEOMETRII

Algebra była specialite de la maison matematyki toruńskiej w jej początkach na UMK. Do dziś Toruń jest jednym z głównych ośrodków algebraicznych w Polsce, zaś Zespół Algebra, na który składa się Katedra Algebry i Geometrii oraz Zakład Kombinatoryki i Obliczeń Symbolicznych, jest nadal najliczniejszą grupą badawczą na Wydziale. Pracują w nim 22 osoby, w tym 7 profesorów tytularnych, a jednym z nich jest członek korespondent PAN.

Od lat współpracujemy z licznymi algebraikami z krajów takich jak Niemcy (Bielefeld, Bonn), Wielka Brytania (Oxford), Japonia (Tokio), Meksyk, Norwegia (Trondheim). Gościliśmy dwie duże międzynarodowe konferencje poświęcone teorii reprezentacji algebr: ICRA XII w 2007 r. i ARTA w 2013 r.

Warto wyjaśnić, że termin algebra oznacza, poza dziedziną matematyki, także konkretny obiekt badań matematycznych. Jest to struktura, w której określone są działania spełniające pewne warunki. Jednym z ważniejszych tematów badań algebraicznych w prowadzonych w Toruniu jest teoria reprezentacji algebr: klasyfikowanie takich właśnie struktur - algebr, modułów, reprezentacji itp. ze względu na różne własności. Dzięki temu, że badane struktury potrafimy opisać przy pomocy łatwiejszych do wyobrażenia obiektów geometrycznych, takich jak grafy zorientowane lub triangulacje powierzchni rzeczywistych, możemy zaprząc do badań metody wywodzące się z innych dziedzin matematyki - topologii (teoria nakryć) czy też kombinatoryki. Spektrum stosowanych w teorii reprezentacji metod jest zresztą bardzo szerokie: toruńscy algebraicy używają zaawansowanych metod geometrii algebraicznej (parząc na badane klasy obiektów jak na twory geometryczne), teorii form kwadratowych, logiki matematycznej. W naturalny sposób pojawiają się też zagadnienia z pogranicza informatyki - w związku z tym utworzono niedawno Zakład Kombinatoryki i Obliczeń Symbolicznych.

Do ważniejszych wyników z ostatnich lat zaliczyć można opis oswojonych (tj. dopuszczających sensowną klasyfikację modułów) algebr symetrycznych, wykorzystujący triangulowane powierzchnie, wyniki dotyczące geometrii i osobliwości reprezentacji skończenie wymiarowych algebr, klasyfikację osobliwości algebraicznych typu Birkhoffa, badania dotyczące algorytmów związanych z formami kwadratowymi. Poza teorią reprezentacji, prowadzone są klasyczne badania w zakresie teorii niezmienników.

Dorobek naukowy środowiska toruńskich algebraików z ostatniego ćwierćwiecza udokumentowany jest, poza licznymi publikacjami w czasopismach, także trzema fundamentalnymi monografiami: Linear Representations of Posets Simsona (Gordon & Breach), trzytomowa Elements of Representation Theory of Associative Algebras Simsona i Skowrońskiego (Cambridge) i dwa tomy Frobenius Algebras (Skowroński, Yamagata, wydawnictwo European Mathematical Society).


Prof. Wojciech Kryszewski

Prof. Wojciech Kryszewski

KATEDRA NIELINIOWEJ ANALIZY MATEMATYCZNEJ I TOPOLOGII I CENTRUM IM J. SCHAUDERA

Historia toruńskiej nieliniowej analizy funkcjonalnej zaczęła się w latach 80. XX wieku wraz podjęciem pracy na UMK przez profesora Lecha Górniewicza. Początkowo w Zakładzie Analizy Matematycznej, a następnie w Katedrze Nieliniowej Analizy Matematycznej i Topologii prowadzone są badania związane z szeroko rozumianą analizą matematyczną, ze szczególnym uwzględnieniem metod topologicznych w zagadnieniach nieliniowych, teorii punktów stałych, a także różnych zastosowań. Zainteresowania profesora Górniewicza dotyczyły przede wszystkim tzw. odwzorowań wielowartościowych, ich własności topologicznych, punktów stałych oraz inkluzji różniczkowych; w takim kierunku rozwijała się również tematyka badawcza większości zespołu naukowego kierowanego przez prof. Górniewicza. Problematyka ta z czasem ewoluowała i obecnie dotyczy głównie metod topologicznych i wariacyjnych w teorii równań różniczkowych cząstkowych i zwyczajnych oraz teorii operatorów nieliniowych. Prowadzone badania dotyczą przede wszystkim problemów istnienia, własności i struktury rozwiązań różnych równań i inkluzji funkcyjnych, a więc np. równań różniczkowych, poprzez zastosowanie technik i metod topologicznych, a także wariacyjnych. Badania te mają w przeważającej mierze charakter jakościowy, a ich rezultaty publikowane są w dobrych i bardzo dobrych międzynarodowych czasopismach matematycznych i znajdują zainteresowanie ze strony matematyków pracujących w innych ośrodkach w kraju i zagranicą. Członkowie Katedry biorą aktywny udział w konferencjach naukowych w Polsce i poza jej granicami, mają rozległe kontakty międzynarodowe, a także uczestniczą w realizacji wielu indywidualnych i zespołowych grantów i projektów finansowanych przez Narodowe Centrum Nauki. W roku 2012 prof. Górniewicz przeszedł na emeryturę, a kierownictwo Katedry przejął jego wieloletni współpracownik profesor Wojciech Kryszewski. Dokładniejsze informacje na temat Katedry dostępne są pod adresem: analysis.mat.umk.pl.

Pisząc o toruńskiej nieliniowej analizie matematycznej, nie sposób nie wspomnieć o Centrum Badań Nieliniowych im. Juliusza P. Schaudera, jednego z prekursorów badań w tej dziedzinie matematyki. Centrum, powołane do życia w 1993 z inicjatywy profesora Andrzeja Granasa, który przez pewien okres był pracownikiem UMK, i prof. Górniewicza, jest jednostką uczelnianą. Misją Centrum jest promocja badań nieliniowych, a także wydawanie czasopisma "Topological Methods In Nonlinear Analysis", jednego z czołowych obecnie polskich periodyków naukowych. Przez wiele lat kierownikiem Centrum oraz redaktorem prowadzącym czasopismo był prof. Górniewicz, a obecnie od 2012 r. obowiązki te pełni prof. Kryszewski. O Centrum i jego aktualnej działalności można dowiedzieć się więcej na stronach www.cbn.umk.pl oraz www.tmna.ncu.pl.


Dr Łukasz Mikulski

Dr Łukasz Mikulski

SEMINARIUM INFORMATYCZNE

25 lat samodzielnego funkcjonowania Wydziału Matematyki i Informatyki to naturalny pretekst, aby spojrzeć wstecz, pokusić się o pewne podsumowania. W roku 1993, w nowej strukturze powstałego wówczas Wydziału, można odnaleźć dwa zakłady mające w swojej nazwie słowo informatyka. Próżno tych nazw szukać po 25 latach.

Zakład Matematycznych Podstaw Informatyki został podzielony w roku 2007 na nieistniejący już Zakład Logiki Matematycznej oraz Zakład Lingwistyki Matematycznej i Teorii Współbieżności. Zakład Algebry Uniwersalnej i Informatyki przestał funkcjonować już kilka lat po wydzieleniu się WMiI, a część jego pracowników utworzyła Pracownię Baz Danych, przekształconą w zakład w roku 2008. Około roku 2000 zostało utworzone Laboratorium Obliczeń Rozproszonych i Równoległych, w krótkim czasie przekształcone w zakład o tej samej nazwie. Ostatecznie, w roku 2013, wspomniane trzy zakłady utworzyły Zespół Badawczy "Obliczenia Wielkoskalowe". Prowadzą wspólnie Seminarium Informatyczne i skupiają większość badań motywowanych informatycznie.

Najbardziej spektakularne sukcesy w ostatnich latach toruńscy informatycy z WMiI odnieśli na Światowych Targach INNOVA, gdzie w 2013 roku zespół z M. Chlebiejem i A. Rutkowskim (ZORiR) zdobył Główną Nagrodę Jury oraz Złoty Medal z Wyróżnieniem. Rok wcześniej ten sam zespół został nagrodzony Srebrnym Medalem, zaś w ubiegłym miesiącu, zespół K. Rykaczewskiego (ZBD) otrzymał Złoty Medal. Tym samym wynalazki toruńskich informatyków pomagają w diagnozie lekarzom oraz poprawiają bezpieczeństwo strażaków. Ponadto, w roku 2014, będąca głównym elementem rozprawy doktorskiej M. Nowickiego (ZORiR) biblioteka do przeprowadzania obliczeń równoległych w Javie PCJ, otrzymała w Nowym Orleanie Best Productivity Award.

Poza przytoczonymi innowacjami, w ramach działań Zespołu Badawczego, prowadzone są badania podstawowe z zakresu informatyki teoretycznej. O jakości uzyskanych rezultatów świadczy regularność, z jaką pracownicy ZLMiTW otrzymują Nagrody Zespołowe JM Rektora UMK (2005, 2008, 2014, 2017), powierzona organizacja dwóch renomowanych sympozjów informatycznych (33th International Symposium on Mathematical Foundations of Computer Science w roku 2008, a także kolokowane 37th International Conference on Applications and Theory of Petri Nets and Concurrency oraz 16th International Conference On Application of Concurrency to System Design w roku 2016), czy zakres nawiązanych kontaktów międzynarodowych objawiający się liczbą gości zagranicznych i wyjazdów naukowych młodych toruńskich informatyków.

Informatyka na WMiI jest cały czas młoda (zakłady zrzeszone w Zespole Badawczym liczą w sumie 15 pracowników naukowo-dydaktycznych, głównie ze stopniem naukowym doktora), ale ma się już czym pochwalić i z nadzieją patrzy w przyszłość.


Prof. Adam Jakubowski

Prof. Adam Jakubowski

ZESPÓŁ STOCHASTYKA

W języku polskim nie istnieje słowo "stochastyka". Mimo to wiele lat temu postanowiliśmy przysposobić w Toruniu niemieckie słowo "stochastik" na łączne określenie teorii prawdopodobieństwa, teorii procesów stochastycznych i statystyki matematycznej, czyli działów matematyki użytecznych w badaniu i modelowaniu zjawisk losowych oraz pozyskiwaniu informacji w warunkach niepewności. Stochastyka jest więc matematyką idealnie pasującą do dzisiejszych czasów, w których triumfuje indeterminizm, a najbardziej pożądane są metody analizy wielkich zbiorów danych, czyli "Big Data"!

Formalnie historia stochastyki na UMK sięga roku 1971, kiedy w Instytucie Matematyki UMK utworzono Zakład Teorii Prawdopodobieństwa. Właściwy rozwój toruńskiej stochastyki nastąpił wraz z powstaniem WMiI w 1993. W 1994 roku pojawili się w Toruniu prof. Aleksander Nagajew i dr Aleksander Zaigrajew, inicjując w ten sposób badania o charakterze statystycznym. Ich aktywność zaowocowała w 2003 roku przekształceniem Zakładu Teorii Prawdopodobieństwa w Zakład Statystyki Matematycznej i Analizy Danych, kierowany przez prof. Nagajewa i Katedrę Teorii Prawdopodobieństwa i Analizy Stochastycznej, której kierownictwo objął prof. Adam Jakubowski.

Badania w latach osiemdziesiątych koncentrowały się wokół twierdzeń granicznych dla zależnych wielkości losowych. Od połowy lat osiemdziesiątych w badaniach dominują zagadnienia o charakterze bardziej analitycznym. Najważniejsze osiągnięcia tego okresu należą do prof. Adama Jakubowskiego i prof. Leszka Słomińskiego i dotyczą funkcjonalnej zbieżności procesów stochastycznych, tzw. problemu Skorochoda oraz schematów numerycznych dla stochastycznych równań różniczkowych. W drugiej połowie lat dziewięćdziesiątych XX wieku ośrodek toruński, jako pierwszy w Polsce, podjął badania nad tzw. stochastycznymi równaniami różniczkowymi wstecz. W ostatnim okresie największą rozpoznawalność uzyskały rezultaty dr. hab. Tomasza Klimsiaka i dr. hab. Andrzeja Rozkosza, w których z sukcesem stosują oni metody analizy stochastycznej w klasycznej teorii równań różniczkowych cząstkowych. Równie przyszłościowe są badania w zakresie statystyki wysokowymiarowej, prowadzone przez dr. Wojciecha Rejchela.

Rozwój toruńskiej stochastyki został w istotny sposób spowolniony przez śmierć prof. Nagajewa w tragicznym wypadku w 2005 roku. Szczególnie dotkliwą stratą okazała się śmierć w 2010 r. dr. hab. Tomasza Schreibera, prof. UMK. Ten złoty medalista Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej w Hongkongu i absolwent UMK z 1999 r., w swojej pracy zajmował się trudnymi problemami geometrii stochastycznej i bardzo szybko stał się znany na arenie międzynarodowej.

Badania prowadzone na UMK w zakresie stochastyki cieszą się uznaniem międzynarodowym. W 2009 r. A. Jakubowski uzyskał prestiżowy tytuł "Fellow of the Institute of Mathematical Statistics". Powierzono nam również organizację dwóch prestiżowych konferencji naukowych, każdorazowo skupiających kilkuset gości z zagranicy: 26th European Meeting of Statisticians w 2006 r. oraz pierwszej Niemiecko-Polskiej Wspólnej Konferencji z Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej (2013 r.)


Prof. Mariusz Lemańczyk
Fot. Cirm-Luminy-France

Prof. Mariusz Lemańczyk

KATEDRA TEORII ERGODYCZNEJ I UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

Badania naukowe w grupie dynamicznej, utworzonej przed ponad 35 laty i kierowanej przez pierwsze 20 lat przez prof. Jana Kwiatkowskiego (w latach 2006-2012 KTEiUD kierował prof. Krzysztof Frączek, a od 2013 r. Katedrą kieruje prof. Mariusz Lemańczyk), koncentrowały się wokół klasycznych zagadnień teorii ergodycznej i dynamiki topologicznej. Poziom badań naukowych grupy toruńskiej w latach 90-tych (ub. wieku) był już na tyle wysoki, że była ona w stanie zorganizować w Toruniu trzy konferencje międzynarodowe z udziałem wielu wybitnych matematyków z całego świata, a w roku 1998 prof. M. Lemańczyk otrzymał za osiągnięcia naukowe Nagrodę Główną PTM im. S. Banacha. W wieku XXI zapoczątkowano nowatorskie (w skali światowej) badania gładkich potoków na powierzchniach, m.in. nad słynnym zjawiskiem, zwanym własnością Ratner, odkrytym ponad 40 lat temu oraz nad ergodycznością potoków kierunkowych na nieskończonych powierzchniach translacyjnych (m.in. słynnym "wind-tree model" Ehrenfestów). Za wybitne osiągnięcia pracownicy KTEiUD otrzymali kolejne prestiżowe wyróżnienia naukowe: dr Joanna Kułaga-Przymus otrzymała nagrodę PTM dla młodych matematyków w 2013 r. oraz w roku 2015 Nagrodę im. K. Kuratowskiego, zaś prof. K. Frączek został uhonorowany Nagrodą Główną PTM im. S. Banacha w roku 2015.

Od roku 2012 jednym z głównych zagadnień badanych w KTEiUD jest hipoteza Sarnaka dotycząca ortogonalności arytmetycznej funkcji Möbiusa z ciągłymi obserwowalnymi układów deterministycznych. Hipoteza Sarnaka okazała się być głębokim postulatem wiążącym w nowatorski sposób teorię ergodyczną z analityczną teorią liczb, w tym tak fundamentalnymi zagadnieniami jak rozkład liczb pierwszych, hipoteza Chowli, czy hipoteza o nieskończoności zbioru par bliźniaczych liczb pierwszych. Wyniki osiągnięte w grupie toruńskiej to nie tylko szereg rezultatów, w których udało się wykazać prawdziwość hipotezy Sarnaka, ale również wskazanie na jej wagę i związki z zagadnieniami entropijnymi, połączeniowymi, spektralnymi oraz ogólnie z dynamiką tzw. układów niejednorodnych. Obecny kierownik KTEiUD jest uznawany za jednego z najlepszych w świecie znawców zagadnień związanych z hipotezą Sarnaka, co m.in. znalazło wyraz w prestiżowych zaproszeniach do Institute for Advanced Studies (Princeton), zaproszeniem przez American Institute of Mathematics do zorganizowania elitarnej konferencji na ww. temat (z udziałem medalistów Fieldsa), czy, na poziomie krajowym, otrzymaniem Medalu im. W. Orlicza (UAM). Dodajmy do tego, że kierujący Katedrą otrzymał prestiżowe międzynarodowe stanowisko Chair Morlet w CIRM (Marsylia), w okresie sierpień 2016 - styczeń 2017. Semestr ten był również poświęcony głównie hipotezie Sarnaka, a w różnej formie wzięło udział w nim udział ponad 200 matematyków z całego świata.

Ośrodek toruński jest jednym z najbardziej znanych i cenionych centrów układów dynamicznych w świecie, corocznie jest licznie odwiedzany zarówno przez uznanych matematyków, jak i bardzo młodych naukowców. Wielkim sukcesem naukowym była zorganizowana w roku 2014 w Toruniu duża (ponad 100 uczestników) konferencja międzynarodowa Ergodic Theory and Dynamical Systems z udziałem najlepszych światowych specjalistów, w tym pierwszego w Toruniu medalisty Fieldsa, E. Lindenstraussa.